Kapitel 9 Eigenschaften Of Stock Optionen

Eigenschaften von Aktienoptionen Kapitel 9 1 Optionen, Futures und andere Derivate, 7. Auflage, Copyright John C. Hull 2008. Präsentation zum Thema: Eigenschaften von Aktienoptionen Kapitel 9 1 Optionen, Futures und andere Derivate, 7. Auflage, Copyright John C Hull 2008. Presentation Transcript: 1 Eigenschaften von Aktienoptionen Kapitel 9 1 Optionen, Futures und andere Derivate, 7. Auflage, Copyright John C. Hull 2008 2 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 20082 Notation c. Europäischer Call-Optionspreis p: Europäischer Put-Optionspreis S 0: Aktienkurs heute K: Ausübungspreis T: Lebensdauer der Option: Volatilität des Aktienkurses C: American Call Optionspreis P: American Put Optionspreis ST: Aktienkurs bei Option Laufzeit D : Anwartschaftswert der Dividenden während der Optionslaufzeit r: risikofreier Zinssatz für Fälligkeit T mit Cont comp 3 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Ausgabe, Copyright John C. Hull 20083 Einfluss von Variablen auf Optionspreise (Tabelle 9.1, Seite 202 ) CpCP Variable S0S0 KT r D. 4 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 20084 American vs European Options Eine amerikanische Option ist mindestens so viel wert wie die entsprechende europäische Option C c P p 5 Optionen, Futures und andere Derivate 7 th Ausgabe, Copyright John C. Hull 20085 Anrufe: Ein Arbitrage Opportunity Angenommen, c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 Gibt es eine Arbitrage-Gelegenheit 6 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 2008 6 Niedrig gebunden für europäische Call Option Preise Keine Dividenden (Gleichung 9.1, Seite 207) c max (S 0 Ke rT, 0) 7 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Ausgabe, Copyright John C. Hull 20087 Puts: Eine Arbitrage Opportunity Angenommen, es gibt eine Arbitrage-Gelegenheit p 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 20088 Niedrig gebunden für europäische Put-Preise Keine Dividenden (Gleichung 9.2, Seite 208) p max (Ke-rT S 0, 0) 9 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 20089 Put-Call Parity Keine Dividenden (Gleichung 9.3, Seite 208) Betrachten Sie die folgenden 2 Portfolios : Portfolio A: Europäischer Aufruf zur Aktie PV des Ausübungspreises in bar Portfolio C: Europäer auf Lagerbestände Die beiden sind bei der Fälligkeit der Optionen wert Max (ST, K) Sie müssen daher heute gleich sein Dies bedeutet, dass c Ke-rT p S 0 10 Optionen, Futures und andere Derivate 7th Edition, Copyright John C. Hull 200810 Arbitrage Opportunities Angenommen, c 3 S 0 31 T 0,25 r 10 K 30 D 0 Was sind die Arbitrage-Möglichkeiten Wenn p 2.25. P 1. 11 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 200811 Frühe Übung In der Regel gibt es eine gewisse Chance, dass eine amerikanische Option frühzeitig ausgeübt wird. Eine Ausnahme ist ein amerikanischer Aufruf über eine nicht dividendenberechtigte Aktie Sollte niemals früh ausgeübt werden 12 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 200812 Für eine American Call Option: S 0 100 T 0,25 K 60 D 0 Sollten Sie sofort ausüben Was sollten Sie tun, wenn Sie wollen Halten die Aktie für die nächsten 3 Monate Sie nicht das Gefühl, dass die Aktie ist es wert, für die nächsten 3 Monate Eine extreme Situation 13 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Ausgabe, Copyright John C. Hull 200813 Gründe für nicht Ausübung eines Anrufs Frühe (keine Dividenden) Es wird kein Einkommen geopfert Die Zahlung des Ausübungspreises ist verzögert Die Einhaltung des Anrufs stellt eine Versicherung gegen den Aktienkurs dar, der unter den Ausübungspreis fällt 14 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 200814 Sollte ausgegeben werden Früh. Gibt es irgendwelche Vorteile für die Ausübung eines Amerikaners, wenn S 0 60 T 0,25 r 10 K 100 D 0 15 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 200815 Die Auswirkung von Dividenden auf niedrigere Anleihen auf Optionspreise ( Gleichungen 9.5 und 9.6, Seiten 214-215) 16 Optionen, Futures und andere Derivate 7. Auflage, Copyright John C. Hull 200816 Erweiterungen der Put-Call Parity American Optionen D 0 S 0 - K 0 c D Ke-rT p S 0 (Gleichung 9.7, S. 215) Amerikanische Optionen D 0 S 0 - D - K 0 c D Ke - rT p S 0 (Gleichung 9.7, S. 215) Amerikanische Optionen D 0 S 0 - D - KKapitel 10 Eigenschaften des Bestandes Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 1. Präsentation zum Thema: Kapitel 10 Eigenschaften von Aktienoptionen Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 1. Präsentation Transkript: 1 Kapitel 10 Eigenschaften von Aktienoptionen Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 1 2 Notationsoptionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 20122 c: Europäischer Anruf Optionspreis p: Europäischer Put-Optionspreis S0: S0: Aktienkurs heute K: Ausübungspreis T: Lebensdauer der Option :: Volatilität des Aktienkurses C: American Call Optionspreis P: American Put Optionspreis ST: ST: Aktienkurs bei Option Fälligkeit D: PV der im Laufe der Laufzeit gezahlten Dividenden r risikofreier Zinssatz für Fälligkeit T mit Fortsetzung Comp. 3 Wirkung von Variablen auf Optionspreise (Tabelle 10.1, Seite 215) Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 Variable cpCP S0S0 K T. r D 3 4 American vs Europäische Optionen Optionen, Futures und Andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 4 Eine amerikanische Option ist mindestens so viel wert wie die entsprechende europäische Option C c P p 5 Anrufe: Eine Arbitrage Opportunity Angenommen, Gibt es eine Arbitrage Gelegenheit Optionen, Futures und andere Derivatives, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 5 c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 6 Niedrig gebunden für europäische Call Option Preise Keine Dividenden (Gleichung 10.4, Seite 220) c S 0 Ke-rT Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 6 7 Puts: Eine Arbitrage Opportunity Angenommen, dass gibt es eine Arbitrage Gelegenheit Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 7 p 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Niedrig gebunden für europäische Put-Preise Keine Dividenden (Gleichung 10.5, Seite 221) p Ke-rT S 0 Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 8 9 Put-Call Parität: Keine Dividenden Betrachten Sie die folgenden 2 Portfolios: Portfolio A: Europäischer Aufruf einer Aktien-Null-Coupon-Anleihe, die K zur Zeit zahlt T Portfolio C: Europäer die Aktienoptionen, Futures und andere Derivate, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 9 10 Werte der Portfolios Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 201210 ST KS T KS T 11 Das Put-Call Parity Ergebnis (Gleichung 10.6, Seite 222) Beide sind wert (ST, K) bei der Reife der Optionen Sie müssen daher heute gleich sein. Dies bedeutet, dass c Ke-rT p S 0 Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 11 12 Angenommen, Was sind die Arbitrage-Möglichkeiten, wenn p 2.25. P 1. Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 12 Arbitrage Chancen c 3 S 0 31 T 0,25 r 10 K 30 D 0 13 Bounds für europäische oder amerikanische Call Options (keine Dividenden) Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 13 14 Bounds für europäische und amerikanische Put-Optionen (keine Dividenden) Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 201214 15 Die Auswirkungen von Dividenden Auf untere Bounds zu Optionspreisen (Gleichungen 10.8 und 10.9, Seite 229) Optionen, Futures und andere Derivate, 8. Auflage, Copyright John C. Hull 2012 15 16 Erweiterungen der Put-Call Parity American Optionen D 0 S 0 K 0 c D Ke rt p S 0 Gleichung 10.10 p. 230 Amerikanische Optionen D 0 S 0 D K 0 c D Ke rT p S 0 Gleichung 10.10 p. 230 American Optionen D 0 S 0 D K73323229-9-Eigenschaften-of-Stock-Optionen - T ER Prope: rties. Dies ist das Ende der Vorschau. Melden Sie sich an, um auf den Rest des Dokuments zuzugreifen. Unformatierte Textvorschau: T ER Prope: rties of Stock Optionen In diesem Kapitel betrachten wir die Faktoren, die die Aktienoptionspreise beeinflussen. Wir verwenden eine Reihe von verschiedenen Arbitrage-Argumenten, um die Beziehungen zwischen europäischen Optionspreisen, amerikanischen Optionspreisen und dem zugrunde liegenden Aktienkurs zu erkunden. Die wichtigste dieser Beziehungen ist die Put-Eall-Parität, die eine Beziehung zwischen europäischen Call-Optionspreisen und europäischen Put-Optionspreisen ist. Das Kapitel untersucht, ob die amerikanischen Optionen frühzeitig ausgeübt werden sollten. Es zeigt, dass es niemals optimal ist, eine amerikanische Call-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie vor dem Optionsablauf auszuüben, aber unter Umständen ist die frühzeitige Ausübung einer amerikanischen Put-Option auf solch einer Aktie optimal. 9.1 FAKTOREN, DIE WAHRSCHEINLICHKEITEN WERDEN, gibt es sechs Faktoren, die den Preis einer Aktienoption beeinflussen: 1. Die 2. Die 4. Die 4. Die aktuelle Aktienkurs, So Ausübungspreis, K Zeit bis zum Verfall, T Volatilität Des Aktienkurses, (j risikofreier Zinssatz, r Dividenden, die während der Laufzeit der Option erwartet werden In diesem Abschnitt werden wir überlegen, was mit den Optionspreisen passiert, wenn einer dieser Faktoren sich ändert, wobei alle anderen noch verbleiben. Die Ergebnisse sind zusammengefasst In Tabelle 9.1 Die Zahlen 9.1 und 9.2 zeigen, wie die europäischen Call - und Put-Preise von den ersten fünf Faktoren abhängen, in denen So 50, K 50, r 5 pro Jahr (j 30 pro Jahr, T 1 Jahr, und es gibt keine Dividenden In diesem Fall beträgt der Call-Preis 7.116 und der Put-Preis beträgt 4.677. Aktienkurs und Basispreis Wenn eine Call-Option zu einem späteren Zeitpunkt ausgeübt wird, ist die Auszahlung der Betrag, um den der Aktienkurs den Ausübungspreis übersteigt Optionen werden daher wertvoller als Oquot 206 KAPITEL 9 Tabelle 9.1 Zusammenfassung der Auswirkung auf den Preis einer Aktienoption, um eine Variable zu erhöhen, während alle anderen fixiert sind. Variable Aktueller Aktienkurs Ausübungspreis Zeit bis zum Verfall Volatilität, risikofreier Zinssatz Betrag der zukünftigen Dividenden Europäischer Amerikanischer amerikanischer Anrufanruf Zeigt an, dass eine Erhöhung der Variablen den Optionspreis erhöht - zeigt an, dass eine Erhöhung der Variablen den Optionspreis veranlasst 1 bedeutet, dass die Beziehung ungewiss ist. Der Aktienkurs steigt und ist weniger wertvoll, wenn der Ausübungspreis steigt. Für eine Put-Option ist die Auszahlung auf Ausübung der Betrag, um den der Ausübungspreis den Aktienkurs übersteigt. Put-Optionen verhalten sich also umgekehrt von Call-Optionen: Sie werden weniger wertvoll, wenn der Aktienkurs steigt und wertvoller ist, wenn der Streichpreis steigt. Abb. 9 1 (a-d) veranschaulichen die Art und Weise, in der die Put - und Call-Preise vom Aktienkurs und dem Ausübungspreis abhängen. Time to Expiration Jetzt betrachten wir die Wirkung des Verfallsdatums. Beide setzen und rufen amerikanische Optionen werden wertvoller, wenn die Zeit zum Verfall zunimmt. Angenommen, wir haben zwei amerikanische Optionen, die sich nur so weit unterscheiden, wie es das Verfallsdatum betrifft. Der Besitzer der langlebigen Option hat alle Übungsmöglichkeiten für den Besitzer der Shortlife-Option - und mehr. Die langlebige Option muss also immer mindestens so viel wert sein wie die Kurzzeit-Option. Obwohl die europäischen Put - und Call-Optionen in der Regel wertvoller werden, wenn die Zeit bis zum Auslaufen zunimmt (siehe z. B. Abb. 9.1 (e, f)), ist dies nicht immer der Fall. Betrachten Sie zwei europäische Call-Optionen auf einer Aktie: eine mit einem Verfallsdatum in 1 Monat, die andere mit einem Ablaufdatum in 2 Monaten. Angenommen, eine sehr große Dividende wird in 6 Wochen erwartet. Die Dividende wird dazu führen, dass der Aktienkurs sinkt, so dass die kurzfristige Option mehr wert sein könnte als die langlebige Option. Volatilität Die genaue Art und Weise, in der die Volatilität definiert ist, wird in Kapitel 13 diskutiert. Grob gesprochen ist die Volatilität eines Aktienkurses ein Maß dafür, wie ungewiss wir über zukünftige Aktienkursbewegungen sind. Da die Volatilität zunimmt, ist die Chance, dass die Aktie sehr gut oder sehr schlecht steigt. Für den Besitzer einer Aktie tendieren diese beiden Ergebnisse dazu, sich gegenseitig auszugleichen. Allerdings ist dies nicht so für den Besitzer eines Anrufs oder setzen. Der Besitzer eines Anrufs profitiert von Preiserhöhungen, hat aber ein begrenztes Abwärtsrisiko im Falle von Preisrückgängen, weil der Besitzer der Besitzer verlieren kann, ist der Preis der Option. Ebenso hat der Besitzer eines Puts von Preisrückgängen profitiert, hat aber ein begrenztes Abwärtsrisiko im Fall 207 Aktien von Aktienoptionen von Preiserhöhungen. Die Werte von bQth Anrufe und Putze steigen daher mit zunehmender Volatilität an (siehe Abb. 9.2 (a, b)). Risikofreier Zinssatz Der risikofreie Zinssatz beeinflusst den Preis einer Option in klarer Weise. Da die Zinssätze in der Wirtschaft steigen, ist die erwartete Rendite, die von den Anlegern von der Aktie gefordert wird. Auswirkungen von Änderungen des Aktienkurses, des Ausübungspreises und des Verfallsdatums auf die Optionspreise bei So 50, K 50, r 5, a 30 und T 1. Abbildung 9.1 Call Option Preis, c Put Option Preis, p 50 50 40 30 20 0 Aktienkurs, So Stock Preis, So 10 0 20 60 80 20 100 80 (a) 100 (b) Call Option Preis, c Put Option Preis, P 50 40 30 20 10 0 Ausübungspreis, K 0 20 40 60 80 100 10 0 Ausübungspreis, K 0 20 40 (c) 60 80 100 (d) Aufruf Optionspreis, c Optionspreis p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 0 0,0 Zeit bis zum Verfall, T 0,4 0,8 1,2 (e) 1,6 2 0 0,0 Zeit bis zum Verfall, T 0,4 0,8 1,2 (f) 1,6 208 KAPITEL 9 Abbildung 9.2 Einfluss von Änderungen der Volatilität und des risikofreien Zinssatzes auf Optionspreise bei So 50, K 50, r 5, U 30 und T l. Call Option Preis, c Put Option Preis, p 15 15 12 12 9 9 6 6 3 00 Volatilität, cr () 20 10 30 40 50 3 0 0 Volatilität, cr () 10 20 30 (a) 40 50 (b) Aufruf Option Preis, c Put Option Preis, p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 00 Risikofreie Rate, r () 2 4 6 8 (c) 2 00 Risikofreie Rate, r () 2 4 6 8 (d ) Neigt dazu, zuzunehmen. Darüber hinaus sinkt der Barwert eines zukünftigen Cashflows, der vom Inhaber der Option erhalten wird, ab. Die kombinierten Auswirkungen dieser beiden Effekte sind, den Wert der Call-Optionen zu erhöhen und den Wert der Put-Optionen zu verringern (siehe Abb. 9.2 (c, d)). Es ist wichtig zu betonen, dass wir davon ausgehen, dass sich die Zinssätze ändern, während alle anderen Variablen gleich bleiben. Insbesondere gehen wir davon aus, dass sich die Zinsen ändern, während der Aktienkurs gleich bleibt. In der Praxis, wenn die Zinsen steigen (fallen), Aktienkurse tendenziell fallen (Anstieg). Der Nettoeffekt einer Zinserhöhung und der damit verbundenen Aktienkursabnahme kann sein, den Wert einer Call-Option zu senken und den Wert einer Put-Option zu erhöhen. Ähnlich. Der Nettoeffekt eines Zinsrückgangs und die damit verbundene Aktienkurserhöhung kann sein, den Wert einer Call-Option zu erhöhen und den Wert einer Put-Option zu verringern. Höhe der zukünftigen Dividenden Dividenden haben den Effekt, den Aktienkurs am Ex-Dividendenstichtag zu senken. Dies ist eine schlechte Nachricht für den Wert der Call-Optionen und eine gute Nachricht für den Wert der Put-Optionen. Der Wert einer Call-Option ist daher negativ auf die Größe einer erwarteten zukünftigen Dividende bezogen, und der Wert einer Put-Option ist positiv auf die Größe einer erwarteten zukünftigen Dividende bezogen. 209 Eigenschaften von Aktienoptionen 9.2 ANNAHMEN UND NICHTUNG In diesem Kapitel werden Annahmen getroffen, die denen ähnlich sind, die für die Ableitung von Terminkontroll - und Futures-Preisen in Kapitel 5 getroffen wurden. Wir gehen davon aus, dass es einige Marktteilnehmer gibt, wie zB große Investmentbanken, für die die folgenden Aussagen gelten Sind wahr: 1. Es gibt keine Transaktionskosten. 2. Alle Handelsgewinne (nach Handelsverlusten) unterliegen dem gleichen Steuersatz. 3. Ausleihungen und Darlehen sind zum risikofreien Zinssatz möglich. Wir gehen davon aus, dass diese Marktteilnehmer bereit sind, die Möglichkeiten der Arbitrage zu nutzen. Wie in den Kapiteln I und 5 erörtert, bedeutet dies, dass alle verfügbaren Arbitrage-Chancen sehr schnell verschwinden. Für die Zwecke unserer Analyse ist es daher vernünftig anzunehmen, dass es keine Arbitragechancen gibt. Wir werden die folgende Notation verwenden: So: Aktueller Aktienkurs K: Ausübungspreis der Option T: Zeit bis zum Ablauf der Option ST: Aktienkurs bei Fälligkeit r: Kontinuierlich zusammengesetzter risikofreier Zinssatz für eine Anlage, die rechtzeitig fällig ist T c: Wert der amerikanischen Call-Option, um eine Aktie zu kaufen P: Wert der amerikanischen Put-Option, um eine Aktie zu verkaufen c: Wert der europäischen Call-Option, um eine Aktie zu kaufen p: Wert der europäischen Put-Option, um eine Aktie zu verkaufen Es ist zu beachten, dass r die Nominaler Zinssatz, nicht der reale Zinssatz. Wir können davon ausgehen, dass rgt O. Andernfalls würde eine risikofreie Investition keine Vorteile gegenüber Bargeld bieten. (In der Tat, wenn r - lt 0 wäre, wäre Bargeld einer risikofreien Investition vorzuziehen.) 9.3 OBERER UND UNTERER BEDIENUNG FÜR OPTIONSPREISE In diesem Abschnitt werden Ober - und Untergrenzen für Optionspreise abgeleitet. Diese Grenzen hängen nicht von bestimmten Annahmen über die in Abschnitt 9.1 genannten Faktoren ab (außer r gt 0). Ist ein Optionspreis oberhalb der Obergrenze oder unterhalb der Untergrenze, so gibt es gewinnlose Möglichkeiten für Arbitrageurs. Upper Bounds Eine amerikanische oder europäische Call-Option gibt dem Inhaber das Recht, eine Aktie einer Aktie zu einem bestimmten Preis zu kaufen. Egal was passiert, die Option kann nie mehr wert sein als die Aktie. Daher ist der Aktienkurs eine Obergrenze an den Optionspreis: c Also, wenn diese Beziehungen nicht wahr waren, könnte ein Arbitrageur leicht einen risikolosen Gewinn durch den Kauf der Aktie und den Verkauf der Call-Option. 210 KAPITEL 9 Eine amerikanische oder europäische Put-Option gibt dem Inhaber das Recht, eine Aktie einer Aktie für K zu verkaufen. Egal wie niedrig der Aktienkurs wird, die Option kann nie mehr wert sein als K. Daher p K Für europäische Optionen , Wissen wir, dass bei der Reife die Option nicht mehr wert sein kann als K. Daraus folgt, dass es nicht mehr wert sein kann als der gegenwärtige Wert von K heute. Wenn dies nicht stimmt, könnte ein Arbitrageur einen risikolosen Gewinn erzielen, indem er die Option schreibt und die Erlöse aus dem Verkauf zum risikofreien Zinssatz investiert. Niedrig gebunden für Anrufe auf nicht Dividendenausschüttungsaktien Eine untere Schranke für den Preis einer europäischen Call-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie ist Wequot zunächst ein numerisches Beispiel und dann ein formaleres Argument zu betrachten. Angenommen, dass So 20, K 18, r 10 pro Jahr und T 1 Jahr. In diesem Fall ist So-Ke - rT 20 - 18e-O. 1 3,71 oder 3,71 Betrachten Sie die Situation, in der der europäische Aufrufpreis 3,00 ist, was kleiner ist als das theoretische Minimum von 3,71. Ein Arbitrageur kann die Aktie kurzschließen und den Anruf kaufen, um einen Mittelzufluss von 20.00 - 3.00 17.00 zu liefern. Wenn für 1 Jahr um 10 pro Jahr investiert, wächst der 17.00 auf 17eo. 1 18,79. Am Ende des Jahres läuft die Option ab. Wenn der Aktienkurs größer als 18.00 ist, übt der Arbitrageur die Option für 18.00 aus, schließt die Short-Position ab und macht einen Gewinn von 18.79 - 18.00 0.79 Wenn der Aktienkurs weniger als 18.00 beträgt, wird die Aktie im Markt gekauft und der Die kurze Position ist geschlossen. Der Arbitrageur macht dann noch mehr Gewinn. Zum Beispiel, wenn der Aktienkurs 17,00 beträgt, beträgt der Arbitrageurs-Gewinn 18,79 - 17,00 1,79 Für ein formaleres Argument betrachten wir die folgenden zwei Portfolios: Portfolio A: eine europäische Call-Option zuzüglich eines Barbetrags in Höhe von Ke - tT Portfolio B : Eine Aktie Im Portfolio A wird der Bargeld, wenn er mit dem risikofreien Zinssatz investiert wird, in K in K immerkt. Wenn ST gt K, wird die Call-Option bei Fälligkeit ausgeübt und portfblio A ist wert ST Wenn ST Lt K, die Call-Option erlischt wertlos und das Portfolio lohnt sich K. Daher ist zum Zeitpunkt T das Portfolio A wert Max (ST K) Portfolio B ist ST zum Zeitpunkt T wert. Daher ist Portfolio A immer so wert, Und 211 Eigenschaften von Aktienoptionen können mehr wert sein als Portfolio an der Option Fälligkeit. Daraus folgt, dass in Abwesenheit von Arbitrage-Chancen dies auch heute wahr sein muss. Zaun, c Ke - rT So oder Weil das Schlimmste, was einer Call-Option passieren kann, ist, dass es wertlos ist, kann sein Wert nicht negativ sein Dies bedeutet, dass c 0 und damit c max (So-Ke - tT 0) (9.1) Beispiel 9.1 Betrachten Sie eine europäische Call-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie, wenn der Aktienkurs 51 ist, der Ausübungspreis 50 beträgt Die Zeit bis zur Endfälligkeit beträgt 6 Monate, und der risikofreie Zinssatz beträgt 12 pro Jahr. In diesem Fall sind also 51, K 50, T 0,5 und rT r 0,12. Aus Gleichung (9.1) ist eine untere Grenze für den Optionspreis So-Ke-. Oder 51 - 50e-O.12x0.5 3.91 niedriger Bound für European Puts auf Dividendenausschüttungen Für eine europäische Put-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie, eine untere Grenze für den Preis ist wieder, betrachten wir zunächst eine Numerisches Beispiel und dann schauen Sie sich ein formaleres Argument an. Angenommen, So 37, K 40, r 5 pro Jahr und T 0,5 Jahre. In diesem Fall betrachten wir die Situation. Wo der europäische Put-Preis 1,00 ist, was kleiner ist als das theoretische Minimum von 2,01. Ein Arbitrageur kann 38.00 für 6 Monate ausleihen, um sowohl den Put als auch den Vorrat zu kaufen. Am Ende der 6 Monate ist der Arbitrageur verpflichtet, 38eo.05xO.5 38.96 zurückzuzahlen. Wenn der Aktienkurs unter 40,00 liegt, übt der Arbitrageur die Möglichkeit aus, die Aktie für 40,00 zu verkaufen, lehnt das Darlehen ab und macht einen Gewinn von 40,00 - 38,96 1,04. Wenn der Aktienkurs größer als 40,00 ist, hat der Arbitrageur die Option, verkauft die Lager, und zahlt das Darlehen für einen noch größeren Gewinn. Zum Beispiel, wenn der Aktienkurs 42,00 ist, ist der Arbitrageurs Gewinn. 42.00 - 38.96 3.04 Für ein formaleres Argument betrachten wir die folgenden zwei Portfolios: Portfolio C: eine europäische Put-Option plus eine Aktie Portfolio D: ein Betrag von Barmitteln gleich Ke - tT Wenn ST lt K, dann die Option im Portfolio C Wird bei Option Laufzeit ausgeübt, und das Portfolio wird wert K. Wenn ST gt K, dann die Put-Option ausläuft wertlos, und die 212 KAPITEL 9 Portfolio ist zu diesem Zeitpunkt ST wert. Daher ist das Portfolio C in der Zeit T wert Max (ST K). Unter der Annahme, dass das Bargeld mit dem risikofreien Zinssatz investiert ist, ist das Portfolio D in der Zeit T wert. Daher ist das Portfolio C immer so wert wie möglich und kann Manchmal lohnt sich mehr als, Portfolio D in der Zeit T. Daraus folgt, dass in Abwesenheit von Arbitrage Chancen Portfolio C muss mindestens so viel wie Portfolio D heute wert sein. Also, p so Ke - rT oder Weil das Schlimmste, was einer Put-Option passieren kann, ist, dass es wertlos ist, kann sein Wert nicht negativ sein Dies bedeutet, dass p max (Ke-rT - So, 0) (9.2) Beispiel 9.2 eine europäische Put-Option auf eine nicht ausschüttungsfähige Aktie, wenn der Aktienkurs 38 ist, ist der Ausübungspreis 40, die Zeit bis zur Fälligkeit Ist 3 Monate, und der risikofreie Zinssatz beträgt 10 pro Jahr. In diesem Fall sind also 38, K 40, T 0,25 und r 0,10. Aus Gleichung (9.2) ergibt sich eine untere Schranke für den Optionspreis, KebT - So oder 40e-O. lxO.25 - 38 1.01 9.4 PUT-CAll PARITY Wir haben nun eine wichtige Beziehung zwischen p und c. Betrachten Sie die folgenden zwei Portfolios, die im vorherigen Abschnitt verwendet wurden: Portfolio A: eine europäische Call-Option plus ein Betrag von Bargeld gleich Ke-rT Portfolio C: eine europäische Put-Option plus eine Aktie Beide sind wert Max (ST, K) bei Ablauf der Optionen. Weil die Optionen europäisch sind, können sie nicht vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden. Die Portfolios müssen daher heute identische Werte haben. Tllis bedeutet, dass (9.3) cKe - rT pSo Diese Beziehung wird als Put-Call-Parität bezeichnet. Es zeigt sich, dass der Wert eines europäischen Anrufs mit einem gewissen Ausübungspreis und Ausübungszeitpunkt aus dem Wert eines Europas mit demselben Ausübungspreis und Ausübungszeitpunkt abgeleitet werden kann und umgekehrt. Wenn Gleichung (9.3) nicht gilt, gibt es Arbitrage-Chancen Angenommen, der Aktienkurs ist 31, der Ausübungspreis ist 30, der risikofreie Zinssatz beträgt 10 pro Jahr, der Preis für eine 3-monatige europäische Call-Option ist 3 , Und der Preis für eine dreimonatige europäische Plit-Option ist 2,25. In diesem Fall ist das Portfolio C in Bezug auf das Portfolio A überteuert. Die korrekte Arbitrage-Strategie besteht darin, die Wertpapiere im Portfolio A zu kaufen und zu kürzen Wertpapiere im Portfolio C. Die Strategie beinhaltet den Kauf der Call und Shorting sowohl der Put und die Aktie, die einen positiven Cashflow von -3 2,25 31 30,25 vorne. Bei der Investition in den risikofreien Zinssatz wächst dieser Betrag in 3 Monaten auf 30.25eo. lxO.25 31.02. Ist der Aktienkurs nach Ablauf der Option größer als 30, so wird der Anruf ausgeübt und bei weniger als 30 wird der Put ausgeübt. In jedem Fall endet der Anleger den Kauf einer Aktie für 30. Dieser Anteil kann verwendet werden, um die Short-Position zu schließen. Der Nettogewinn beträgt also 31.02 - 30.00 1.02 Für eine alternative Situation ist davon auszugehen, dass der Aufrufspreis 3 ist und der Put-Preis 1 ist. In diesem Fall gilt c Ke - rT 3 30e-O. lx312 32.26 und p So 1 31 32.00 Portfolio A ist gegenüber dem Portfolio C überteuert. Ein Arbitrageur kann die Wertpapiere im Portfolio A kurzschließen und die Wertpapiere im Portfolio C kaufen, um einen Gewinn zu sperren. Die Strategie beinhaltet Tabelle 9.2 Arbitrage-Chancen, wenn put-eall-Parität nicht hält. Aktienkurs 31 interesf Rate 10call Preis 3. Beide setzen und rufen einen Ausübungspreis von 30 und 3 Monaten bis zur Fälligkeit. Drei-Mollth-Put-Preis 2,25 Tlllee-Mollth-Put-Preis 1 Action-Noll: Buy-Call für 3 Short-Set zu realisieren 2.25 Short die Aktie zu realisieren 31 Invest 30,25 für 3 Monate Action-Noll: Leihen Sie 29 für 3 Monate Kurzer Anruf zu realisieren 3 Buy put Für 1 Kaufen Sie die Aktie für 31 Aktion in 3 Monaten, wenn ST gt 30: erhalten 31.02 aus Investition Ausübung Aufruf zu kaufen Lager für 30 Nettogewinn 1,02 Aktion in 3 Monaten, wenn ST gt 30: Call ausgeübt: Verkauf Lager für 30 Use 29.73 zurückzuzahlen Darlehen Nettogewinn 0,27 Aktion in 3 Monaten, wenn ST lt 30: erhalten 31,02 aus der Investition Ausgeübt: Kauf Aktie für 30 Nettogewinn 1,02 Aktion in 3 Monaten, wenn ST lt 30: Ausübung zu verkaufen Lager für 3 Verwendung 29,73 zur Rückzahlung Darlehen Nettogewinn 0,27 214 KAPITEL 9 Business Snapshot 9.1 Put-Call Parität und Kapitalstruktur Die Pioniere der Optionspreise waren Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton. In den frühen 1970er Jahren zeigten sie, dass Optionen zur Charakterisierung der Kapitalstruktur eines Unternehmens genutzt werden können. Heute ist dieses Modell weit verbreitet von Finanzinstituten, um ein Unternehmen Kreditrisiko zu beurteilen. Um das Modell zu veranschaulichen, betrachten wir ein Unternehmen, das Vermögenswerte hat, die mit Nullkuponanleihen und Eigenkapital finanziert werden. Angenommen, die Anleihen reifen in 5 Jahren, zu welcher Zeit eine Hauptzahlung von K erforderlich ist. Das Unternehmen zahlt keine Dividenden. Wenn die Vermögenswerte in 5 Jahren mehr als K wert sind, wählen die Aktionäre die Anleihegläubiger zurück. Wenn die Vermögenswerte weniger wert sind als. K, die Aktieninhaber wählen, um Konkurs zu erklären und die Anleihegläubiger am Ende der Besitz des Unternehmens. Der Wert des Eigenkapitals in 5 Jahren ist daher max (A T - K, 0), wobei AT der Wert der Vermögenswerte des Unternehmens zu diesem Zeitpunkt ist. Dies zeigt, dass die Aktionäre eine 5-jährige europäische Call-Option auf die Vermögenswerte des Unternehmens mit einem Ausübungspreis von K haben. Was ist mit den Anleihegläubigern Sie erhalten in 5 Jahren min (A T. K). Dies ist das gleiche wie K - max (K - AT, 0). Die Anleihegläubiger haben den Aktionären das Recht eingeräumt, die Vermögenswerte für K in 5 Jahren für sie zu verkaufen. Die Anleihen sind daher den Barwert von K abzüglich des Wertes einer 5-jährigen europäischen Put-Option auf die Vermögenswerte mit einem Ausübungspreis von K. Um zu fassen, wenn c und p der Wert der Call - und Put-Optionen sind, Dann Wert des Eigenkapitals c Wert der Verbindlichkeiten PV (K) - P Den Wert der Vermögenswerte des Unternehmens heute von A o bezeichnen Der Wert der Vermögenswerte muss dem Gesamtwert der zur Finanzierung der Vermögenswerte verwendeten Instrumente entsprechen. Dies bedeutet, dass es die Summe aus dem Wert des Eigenkapitals und dem Wert der Schulden entsprechen muss, so dass Ao diese Gleichung neu ordnet, wir c PV (K) - p ave c PV (K) p A o Dies ist die Put - Eall Parität resultiert in Gleichung (9.3) für Call - und Put-Optionen auf die Vermögenswerte des Unternehmens. Die Kündigung des Anrufs und den Kauf des Puts und der Aktie mit einer Erstinvestition von 31 1 - 3 29 Wenn die Investition mit dem risikofreien Zinssatz finanziert wird, ist eine Rückzahlung von 2 geo. lxo.25 29.73 am Ende des 3 Monate Wie im vorherigen Fall wird entweder der Anruf oder der Put ausgeübt. Die kurzfristige Call - und Long-Put-Option-Position führt daher dazu, dass die Aktie für 30,00 verkauft wird. Der Nettogewinn beträgt somit 30,00 - 29,73 0,27. Diese Beispiele sind in Tabelle 9.2 dargestellt. Business Snapshot 9.1 zeigt, wie Optionen und Put-Eall Parität können uns helfen, die Positionen der Schulden und Aktionäre In einem Unternehmen zu verstehen. 215 Eigenschaften der Aktienoptionen American Options Put - Call Parität gilt nur für europäische Optionen. Allerdings ist es möglich, einige Ergebnisse für amerikanische Optionspreise abzuleiten. Es kann gezeigt werden (siehe Problem 9.18), dass, wenn es keine Dividenden gibt, So-K So-Ke-rT (9.4) Beispiel 9.3 Eine amerikanische Call-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie mit Ausübungspreis 20,00 und Fälligkeit in 5 Monate ist 1,50 wert. Angenommen, der aktuelle Aktienkurs beträgt 19.00 und der risikofreie Zinssatz beträgt 10 pro Jahr. Aus Gleichung (9.4) haben wir 19 - 20 19 - 20e-O. lx5jI2 oder 1 0,18, was zeigt, dass P-C zwischen 1,00 und 0,18 liegt. Bei C bei 1,50 muss P zwischen 1,68 und 2,50 liegen. Mit anderen Worten, Ober - und Untergrenze für den Preis eines Amerikaners mit dem gleichen Ausübungspreis und Ablaufdatum wie der amerikanische Anruf sind 2,50 und 1,68. 9.5 FRÜHERE ÜBUNG: KOHLEN AUF EINEN NICHT-DIVIDENDEN ZAHLENSAUSKOMMEN Dieser Abschnitt zeigt, dass es niemals optimal ist, eine amerikanische Call-Option auf einem nicht dividendenberechtigten Bestand vor dem Verfallsdatum auszuüben. Um die allgemeine Natur des Arguments zu veranschaulichen, betrachten Sie eine amerikanische Call-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie mit 1 Monat bis zum Verfall, wenn der Aktienkurs 50 ist und der Ausübungspreis 40 ist. Die Option ist tief in das Geld und die Investor, der die Option besitzt, könnte wohl versucht sein, ihn sofort auszuüben. Allerdings, wenn der Investor plant, die Aktie vorbeiziehen durch die Ausübung der Option für mehr als 1 Monat zu halten, ist dies nicht die beste Strategie. Eine bessere Vorgehensweise ist, die Option zu behalten und sie am Ende des Monats auszuüben. Der 40-Basispreis wird dann 1 Monat später ausgezahlt, als es wäre, wenn die Option sofort ausgeübt würde, so dass die Zinsen auf den 40 für 1 Monat verdient werden. Weil die Aktie keine Dividenden zahlt, wird kein Einkommen aus der Aktie geopfert. Ein weiterer Vorteil des Wartens statt der Ausübung sofort ist, dass es eine Chance gibt (aber abgelegen), dass der Aktienkurs unter 40 in 1 Monat fallen wird. In diesem Fall wird der Anleger nicht in 1 Monat ausüben und freut sich, dass die Entscheidung, frühzeitig zu trainieren, nicht getroffen wurde. Dieses Argument zeigt, dass es keine Vorteile für die Ausübung gibt, wenn der Investor plant, die Aktie für das verbleibende Leben der Option (1 Monat, in diesem Fall). Was ist, wenn der Investor denkt, dass die Aktie derzeit überteuert ist und sich fragt, ob sie die Option ausüben und die Aktie verkaufen soll. In diesem Fall ist der Anleger besser daran, die Option zu verkaufen, als ihn auszuüben. L Die Option wird von einem anderen Investor gekauft, der die Aktie halten möchte. Solche Anleger müssen bestehen: Andernfalls wäre der aktuelle Aktienkurs nicht 50. Der für die Option erworbene Preis ist aus den oben genannten Gründen größer als der innere Wert von 10. I Als alternative Strategie kann der Investor die Option behalten und den Bestand kurz abschließen, um einen besseren Gewinn zu sperren als SIO. 216 KAPITEL 9 Variation des Preises einer amerikanischen oder europäischen Call-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie mit dem Aktienkurs, So. Abbildung 9.3 Aufruf Optionspreis K Aktienkurs So Für ein formaleres Argument können wir Gleichung (9.1) verwenden: c So - Ke - rT Beca. use der Besitzer eines amerikanischen Anrufs hat alle Ausübung Möglichkeiten für den Besitzer der Englisch: www. germnews. de/archive/dn/1997/11/25.html Wenn wir es wünschen, wäre es so, dass es sich hierbei um eine Frage handelt, Seien Sie optimal, um frühzeitig zu üben. Abbildung 9.3 zeigt die allgemeine Art und Weise, in der der Anrufpreis mit So variiert. Es zeigt an, dass der Anrufpreis immer über seinem intrinsischen Wert von max (So - K, 0) liegt. Wenn r oder T oder die Volatilität zunimmt, bewegt sich die Linie, die den Aufrufpreis an den Aktienkurs bezieht, in die durch die Pfeile angezeigte Richtung (d. h. weiter weg von dem inneren Wert). Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass es zwei Gründe gibt, dass ein amerikanischer Aufruf zu einer nicht dividendenberechtigten Aktie nicht frühzeitig ausgeübt werden sollte. Man bezieht sich auf die Versicherung, die es bietet. Eine Call-Option, die statt der Aktie selbst stattfindet, stellt sicher, dass der Inhaber gegen den Aktienkurs unter den Ausübungspreis fällt. Sobald die Option ausgeübt wurde und der Ausübungspreis für den Aktienkurs ausgetauscht wurde, verschwindet diese Versicherung. Der andere Grund betrifft den Zeitwert des Geldes. Aus der Perspektive des Optionsinhabers, je später der Ausübungspreis ausgezahlt wird, desto besser. 9.6 FRÜHERE ÜBUNG: PUTS AUF EINEN NICHT-DIVIDENDEN-ZAHLENDE STOCK Es kann optimal sein, eine amerikanische Put-Option auf eine nicht dividendenberechtigte Aktie auszuüben. In der Tat, zu irgendeiner Zeit während seines Lebens, sollte eine Put-Option immer früh ausgeübt werden, wenn es ausreichend tief im Geld ist. 217 Eigenschaften von Aktienoptionen Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir eine extreme Situation. Angenommen, der Ausübungspreis ist 10 und der Aktienkurs ist praktisch Null. Durch die Ausübung sofort, ein Investor macht einen sofortigen Gewinn von 10. Wenn der Investor wartet, kann der Gewinn aus Übung weniger als 10 sein, aber es kann nicht mehr als 10, weil negative Aktienkurse sind unmöglich. Weiterhin ist der Empfang 10 nunmehr bevorzugt, 10 in der Zukunft zu empfangen. Daraus folgt, dass die Option sofort ausgeübt werden sollte. Wie eine Call-Option kann eine Put-Option als Versicherung angesehen werden. Eine Put-Option, wenn sie in Verbindung mit dem Bestand gehalten wird, versichert den Inhaber gegen den Aktienkurs, der unter ein bestimmtes Niveau fällt. However, a put option is different from a call option in that it may be optimal for an investor to forgo this insurance and exercise early in order to realize the strike price immediately. In general, thy early exercise of a put option becomes more attractive as So decreases, as r increases, and as the volatility decreases. It will be recalled from equation (9.2) that For an American put with price P, the stronger condition P K - So must always hold because immediate exercise is always possible. Figure 9.4 shows the general way in which the price of an American put varies with So. Provided that rgt 0, it is always optimal to exercise an American put immediately when the stock price is sufficiently low. When early exercise is optimal, the value of the option is K - So. The curve representing the value of the put therefore merges into the puts intrinsic value, K - So, for a sufficiently small value of So. In Figure 9.4, this value of So is shown as point A. The line relating the put price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows when r decreases, when the volatility increases, and when T increases. Because there are some circumstances when it is desirable to exercise an American put option early, it follows that an American put option is always worth more than the Figure 9.4 Variation of price of an American put option with stock price, So. American put price quot. A. K Stock price, So 218 CHAPTER 9 Figure 9.5 Variation of price of a European put option with the stock price, So. European put price E quotquot. . quot B K Stock price, So corresponding European put option. Furthermore, because an American put is sometimes worth its intrinsic value (see Figure 9.4), it follows that a European put option must sometimes be worth less than its intrin. sic value. Figure 9.5 shows the variation of the European put price with the stock price. Note that point B in Figure 9.5, at which the price of the option is equal to its intrinsic value, must represent a higher value of the stock price than point A in Figure 9.4. Point E in Figure 9.5 is where So 0 and the European put price is Ke-r 9.7 EFFECT OF DIVIDENDS The results produced so far in this chapter have assumed that we are dealing with options on a non-dividend-paying stock. In this section we examine the impact of dividends. In the United States most exchange-traded stock options have a life of less than 1 year and dividends payable during the life of the option can usually be predicted with reasonable accuracy. We will use D to denote the present value of the dividends during the life of the option. In the calculation of D, a dividend is assumed to occur at the time of its ex-dividend date. lower Bound for Calls and Puts We can redefine portfolios A and B as follows: Portfolio A: one European call option plus an amount of cash equal to D Ke - rT Portfolio B: one share A similar argument to the one used to derive equation (9.1) shows that c So - D - Ke - rT (9.5) 219 Properties of Stock Options We can also redefine portfolios C and D as follows: Portfolio C: one European put option plus one share Portfolio D: an amount of cash equal to D Ke - rT A similar argument to the one used to derive equation (9.2) shows that p D Ke-rT - So (9.6) Early Exercise When dividends are expected, we can no longer assert than an American call option will not be exercised early. Sometimes it is optimal to exercise an American call immediately prior to an ex-dividend date. It is never optimal to exercise a call at other times. This point is discussed further in the appendix to Chapter 13. Put-Call Parity Comparing the value at option maturity of the redefined portfolios A and C shows that, with dividends, the put-eall parity result in equation (9.3) becomes cDKe-rT pSo (9.7) Dividends cause equation (9.4) to be modified (see Problem 9.19) to So - D - K. C - p. So - Ke - rT (9.8) SUMMARY There are six factors affecting the value of a stock option: the current stock price, the strike price, the expiration date, the stock price volatility, the risk-free interest rate, and the dividends expected during the life of the option. The value of a call generally increases as the current stock price, the time to expiration, the volatility, and the riskfree interest rate increase. The value of a call decreases as the strike price and expected dividends increase. The value of a put generally increases as the strike price, the time to expiration, the volatility, and the expected dividends increase. The value of a put decreases as the current stock price and the risk-free interest rate increase. It is possible to reach some co. ndusions about the value of stock options without making any assumptions about the volatility of stock prices. For example, the price of a call option on a stock must always be worth less than the price of the stock itself. Similarly, the price of a put option on a stock must always be worth less than the options strike price. A European call option on a non-dividend-paying stock must be worth more than max(So - Ke - rT. 0) where So is the stock price, K is the strike price, r is the risk-free interest rate, and Tis the time to expiration. A European put option on a non-dividend-paying stock must be 220 CHAPTER 9 worth more than max(Ke-rT - So, 0) When dividends with present value D will be paid, the lower bound for a European call option becomes max(So - D - Ke - rT. 0) and the lower bound for a European put option becomes max(Ke-rT D - So, 0) Put-eall parity is a relationship between the price, c, of a European call option on a stock and the price, p, of a European put option on a stock. For a non-dividend-paying stock, it is cKe-rT pSo For a dividend-paying stock, the put-eall parity relationship is cDKe - rT pSo Put-call parity does not hold for American options. However, it is possible to use arbitrage arguments to obtain upper and lower bounds for the difference between the price of an American call and the price of an American put. In Chapter 13, we will carry the analyses in this chapter further by making specific assumptions about the probabilistic behavior of stock prices. The analysis will enable us to derive exact pricing formulas for European stock options. In Chapters 11 and 17, we will see how numerical procedures can be used to price American options. FURTHER READING Black, F. and M. Scholes. quotThe Pricing of Options and Corporate Liabilities, quot Journal oj Political Economy, 81 (MayjJune-1973): 637-59. Broadie, M. and J. Detemple. quotAmerican Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods, quot Review oj Financial Studies, 9, 4 (1996): 1211-50. Merton, R. c. quotOn the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, quot Journal oj Finance, 29, 2 (1974): 449-70. Merton, R. C. quotTheory of Rational Option Pricing, quot Bell Journal oj Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 141-83. Merton, R. C. quotThe Relationship between Put and Call Prices: Comment, quot Journal oj Finance, 28 (March 1973): 183-84. Stoll, H. R. quotThe Relationship between Put and Call Option Prices, quot Journal oj Finance, 31 (May 1969): 319-32. Questions and Problems (Answers in Solutions Manual) 9.1. List the six factors that affect stock option prices. 9.2. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock - when the stock price is 28, the strike price is 25, and the risk-free interest rate is 8 per annum Properties of Stock Options 221 9.3. What is a lower bound for the pric of a I-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 12, the strike price i 15, and the risk-free interest rate is 6 per annum 9.4. Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero. 9.5. quotThe early exercise of an American put is a trade-off between the time value of money and the insurance value of a put. quot Explain this statement. 9.6. Explain why an American call option on a dividend-paying stock is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option Explain your answer. 9.7. The price of a non-dividend-paying stock is 19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price of 20 is 1. The risk-free rate is 4 per annum. What is the price of a 3-month European put option with a strike price of 20 9.8. Explain why the arguments leading to put-call parity for Eur()pean options cannot be used to give a similar result for American options. 9.9. What is a lower bound for the price of a 6-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is 80, the strike price is 75, and the risk-free interest rate is 10 per annum 9.10. What is a lower bound for the price of a 2-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 58, the strike price is 65, and the risk-free interest rate is 5 per annum 9.11. A 4-month European call option on a dividend-paying stock is currently selling for 5. The stock price is 64, the strike price is 60, and a dividend of 0.80 is expected in 1 month. Der risikofreie Zinssatz beträgt 12 pro Jahr für alle Fälligkeiten. What opportunities are there for an arbitrageur 9.12. A I-month European put option on a non-dividend-paying stock is currently selling for 2.50. The stock price is 47, the strike price is 50, and the risk-free interest rate is 6 per annum. What opportunities are there for an arbitrageur 9.13. Give an intuitive explanation of why the early exercise of an American put becomes more attractive as the risk-free rate increases and volatility decreases. 9.14. The price of a European call that expires in 6 months and has a strike price of 30 is 2. The underlying stock price is 29, and a dividend of 0.50 is expected in 2 months and again in 5 months. The term structure is flat, with all risk-free interest rates being 10. What is the price of a European put option that expires in 6 months and has a strike price of 30 9.15. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.14 if the European put price is 3. 9.16. The price of an American call on a non-dividend-paying stock is 4. The stock price is 31, the strike price is 30, and the expiration date is in 3 months. The risk-free interest rate is 8. Derive upper and lower bounds for the price of an American put on the same stock with the same strike price and expiration date. 9.17. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.16 if the American put price is greater than the calculated upper bound. 222 CHAPTER 9 9.18. Prove the result in equation (9.4). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.19. Prove the result in equation (9.8). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to D K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.20. Regular call options on non-dividend-paying stocks should not be exercised early. However, there is a tendency for executive stock options to be exercised early even when the company pays no dividends (see Business Snapshot 8.3 for a discussion of executive stock options). Give a possible reason for this. 9.21. Use the software DerivaGem to verify that Figures 9.1 and 9.2 are correct. Assignment Questions 9.22. A European call option and put option on a stock both have a strike price of 20 and an expiration date in 3 months. Both sell for 3. The risk-free interest rate is 10 per annum, the current stock price is 19, and a 1 dividend is expected in I month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. 9.23. Suppose that Cl, Cl, and C3 are the prices of European call options with strike prices K 1, K2, and K3, respectively, where K 3 gt K2gt Kt and K 3 - K2 K2 - K 1 All options have the same maturity. Show that C2. s 0.5(cl C3) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price KI, long one option with strike price K3, and short two options with strike price K2) 9.24. What is the result corresponding to that in Problem 9.23 for European put options 9.25. Suppose that you are the manager and sole owner of a highly leveraged company. All the debt will mature in 1 year. If at that time the value of the company is greater than the face value of the debt, you will payoff the debt. If the value of the company is less than the face value of the debt, you will declare bankruptcy and the debt holders will own the company. (a) Express your position as an option on the value of the company. (b) Express the position of the debt holders in terms of options on the value of the company. (c) What can you do to increase the value of your position 9.26. Consider an option on a stock when the stock price is 41, the strike price is 40, the riskfree rate is 6, the volatility is 35, and the time to maturity is 1 year. Assume that a dividend of 0.50 is expected after 6 months. (a) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European call. (b) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European put. (c) Verify that put-eall parity holds. (d) Explore using DerivaGem what happens to the price of the options as the time to maturity becomes very large. For this purpose, assume there are no dividends. Explain the results you get. View Full Document This note was uploaded on 01302012 for the course MATH 174 taught by Professor Donblasius during the Spring 03911 term at UCLA.